是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/05 18:51:59
是否存在一个三边长恰好是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角的△ABC?证明你的结论.
2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛标准答案:
存在满足条件的三角形
当 △ABC 的三边长分别为 a=6,b=4,c=5时,∠A=2∠B
如图,当∠A=2∠B时,延长BA至点D,使AD=AC=b,连结CD,则△ACD为等腰三角形
∵∠BAC为△ACD的一个外角,∴∠BAC=2∠D
由已知∠BAC=2∠B,则∠B=∠D
∴△CBD为等腰三角形
又∠D为△ACD与△CBD 的一个公共角,∴△ACD∽△CBD
于是AD/CD=CD/BD,即b/a=a/(b+c)
∴a²=b(b+c)
∵6²=4(4+5),∴此三角形满足题设条件
故存在满足条件的三角形
说明:满足条件的三角形不是唯一的
若∠A=2∠B,得a²=b(b+c),有以下三种情形:
(1)当a>c>b时,设a=n+1,c=n,b=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得(n+1)²=(n-1)(2n-1)
解得n=5
∴a=6,b=4,c=5
(2)当c>a>b时,设c=n+1,a=n,b=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得n²=2n(n-1)
解得n=2
∴a=2,b=1,c=3,此时不能构成三角形
(3)当a>b>c时,设a=n+1,b=n,c=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得(n+1)²=n(2n-1)
即n²-3n-1=0,此方程无整数解
所以,三边长恰为三个连续的整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件
存在满足条件的三角形
当 △ABC 的三边长分别为 a=6,b=4,c=5时,∠A=2∠B
如图,当∠A=2∠B时,延长BA至点D,使AD=AC=b,连结CD,则△ACD为等腰三角形
∵∠BAC为△ACD的一个外角,∴∠BAC=2∠D
由已知∠BAC=2∠B,则∠B=∠D
∴△CBD为等腰三角形
又∠D为△ACD与△CBD 的一个公共角,∴△ACD∽△CBD
于是AD/CD=CD/BD,即b/a=a/(b+c)
∴a²=b(b+c)
∵6²=4(4+5),∴此三角形满足题设条件
故存在满足条件的三角形
说明:满足条件的三角形不是唯一的
若∠A=2∠B,得a²=b(b+c),有以下三种情形:
(1)当a>c>b时,设a=n+1,c=n,b=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得(n+1)²=(n-1)(2n-1)
解得n=5
∴a=6,b=4,c=5
(2)当c>a>b时,设c=n+1,a=n,b=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得n²=2n(n-1)
解得n=2
∴a=2,b=1,c=3,此时不能构成三角形
(3)当a>b>c时,设a=n+1,b=n,c=n-1(n为大于1的正整数)
代入a²=b(b+c),得(n+1)²=n(2n-1)
即n²-3n-1=0,此方程无整数解
所以,三边长恰为三个连续的整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件
几道数学证明题1.证明:只存在唯一的三角形,它的三边长为三个连续正整数,并且它的三个内角中有一个内角是另一个内角的二倍.
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三角形的一个内角是另一个内角的2倍,而第三个内角的和大60度,求这个三角形的三个内角的度数