已知椭圆C的焦点为F1(-根号2,0),F2(根号2,0),且椭圆C的下顶点到直线x+y-2=0的距离为2分之3根号2

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 21:33:49

已知椭圆C的焦点为F1(-根号2,0),F2(根号2,0),且椭圆C的下顶点到直线x+y-2=0的距离为2分之3根号2
（1）求椭圆C的方程
（2）若一直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B(A、B都不是椭圆C的顶点）两点,以AB为直径的圆过椭圆C上的顶点,求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标.
距离是2分之3倍根号2

第一问太简单了.就不说了,相信你做得出,第二问椭圆的上顶点为Q（0,1）,
由方程组
y＝kx+m
x2
3
+y2＝1
得
x2
3
+(kx+m)2＝1,
即(
1
3
+k2)x2+2kmx+m2−1＝0
∵直线l2：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,
∴△＝4k2m2−4(
1
3
+k2)(m2−1)＝4(k2−
1
3
m2+
1
3
)＞0,
即3k2-m2+1＞0．
设A、B两点的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,
则x1+x2＝−
6km
1+3k2
,x1x2＝
3(m2−1)
1+3k2
,
∴y1+y2＝k(x1+x2)+2m＝
2m
1+3k2
,
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
3k2(m2−1)
1+3k2
−
6k2m2
1+3k2
+m2＝
m2−3k2
1+3k2
．
∵以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q（0,1）,
∴AQ⊥BQ,∴x1x2+（y1-1）（y2-1）=0,
即x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0
∴
3(m2−1)
1+3k2
+
m2−3k2
1+3k2
−
2m
1+3k2
+1＝0,
化简得2m2-m-1=0,
∴m＝1或m＝−
1
2
．
当m=1时,直线l2：y=kx+1过定点Q（0,1）,与已知矛盾；
当m＝−
1
2
时,满足3k2-m2+1＞0,
此时直线l2：y＝kx−
1
2
过定点(0,−
1
2
),
∴直线l2过定点(0,−
1
2
)．

已知椭圆的两焦点为F1(-根号3,0),F2(根号3,0),e=2分之根号3 已知椭圆c的两焦点分别为f1（-2*根号2,0）、f2（2*根号2,0）,长轴为6,设直线y=x+2交椭圆c于a、b两点已知椭圆C的焦点分别为F1（-2根号2 ,0）和F2（2根号2 ,0）,长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点已知椭圆C的焦点F1(-2根号2,0)和F2(2根号2,0)长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于AB, 已知椭圆的两焦点为F1(-根号3,0),f2(根号3,0)离心率E=2分之根号3.求椭圆的方程,设直线L:y=x:m,若已知椭圆的两个焦点为F1(0,负2根号2),F2(0,2跟号2),且有a分之c=3分之2根号2 (1)求椭圆的方程 (2 已知中心在坐标原点,焦点F1、F2再x轴上的椭圆C的离心率为根号3/2,抛物线X^2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点（已知中心在坐标原点,焦点F1、F2再x轴上的椭圆C的离心率为根号3、2,抛物线X^2=4y的焦点是椭圆C的一个顶点已知椭圆C的焦点分别为F1(-2根号2,0)和F2(2根号2,0),长轴长为6,已知过点（0,2）且斜率为1的直线与椭圆已知中心在原点的椭圆一个顶点为A（0,-1）,焦点在X轴上,起右焦点F2到直线x-y+2倍根号2=0的距离为3. 设F1 F2为椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点,椭圆上的点A(1,（根号3）/2)到焦点的已知椭圆C的焦点为F1（-5,0）,F2（5,0）焦点到短轴端点的距离为2根号十,求标准方程