搜搜考试网22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/25 17:11:48
22.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.
（1）函数f（x）=x是否属于集合M?说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点,证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M,求实数k的取值范围.
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T,对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立.
（1）函数f（x）=x是否属于集合M?说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点,证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M,求实数k的取值范围.
（1）对于非零常数T,f（x+T）=x+T,Tf（x）=Tx.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）=x不属于 M.
（2）因为函数f（x）=aˆx（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组：y= aˆx
y=x 有解,消去y得aˆx=x,
显然x=0不是方程aˆx=x的解,所以存在非零常数T,使aˆT=T.
于是对于f（x）=aˆx,有f（x+T）=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf（x）,故f（x）=aˆx∈M.
（3）当k=0时,f（x）=0,显然f（x）=0∈M.
当k≠0时,因为f（x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立,即sin（kx+kT）=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈［－1,1］,sin（kx+kT）∈［－1,1］,
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立,只有T=±1.
当T=1时,sin（kx+k）=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.
当T=－1时,sin（kx－k）=－sinkx成立,
即sin（kx－k+π）=sinkx成立,
则－k+π=2mπ,m∈Z,即k=－（2m－1）π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.
因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）=x不属于 M.
（2）因为函数f（x）=aˆx（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组：y= aˆx
y=x 有解,消去y得aˆx=x,
显然x=0不是方程aˆx=x的解,所以存在非零常数T,使aˆT=T.
于是对于f（x）=aˆx,有f（x+T）=aˆ(x+T)=aˆx·aˆT=T·aˆx=Tf（x）,故f（x）=aˆx∈M.
（3）当k=0时,f（x）=0,显然f（x）=0∈M.
当k≠0时,因为f（x）=sinkx∈M,所以存在非零常数T,
对任意x∈R,有f（x+T）=Tf（x）成立,即sin（kx+kT）=Tsinkx.
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈［－1,1］,sin（kx+kT）∈［－1,1］,
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立,只有T=±1.
当T=1时,sin（kx+k）=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.
当T=－1时,sin（kx－k）=－sinkx成立,
即sin（kx－k+π）=sinkx成立,
则－k+π=2mπ,m∈Z,即k=－（2m－1）π,m∈Z.
综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.
(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分,第3小题满分2分.
（本题满分10分第（1）小题满分4分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分3分）
（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
句型转换（本题5小题；每小题1分，满分5分）
句型转换(本题共5小题；每小题1分，满分5分)
词汇（本题共15小题；每小题1分，满分15分）
课文填空(本题共5个空格；每小题1分，满分5分)
．(本题满分8分) （每小题4分,共8分）
词汇(本题共15小题；每小题1分，满分15分)
阅读理解（二）（本题共5小题；每小题2分，满分10分）
阅读与回答问题（本题共5小题；每小题2分，满分10分）
阅读与回答问题(本题共5小题；每小题2分，满分10分)