一道数学几何证明题三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/17 01:10:07

一道数学几何证明题
三角形ABC是非直角三角形,以AB、AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和ACD,M是BC中点,证明DE与AM之间的数量关系,（说明理由）

ED=2AM,理由如下：
延长CA（向内部延长）至点N,使AN=CA,连接BN
∵MC=BM AN=CA
∴AM=½BN（中位线定理）
∵CA=DA AN=CA
∴AN=DA
∵∠BAN+∠NAE=∠BAE=90° ∠EAD+∠NAE=∠NAD=90°
∴∠BAN=∠EAD
则,在△EAD与△BAN中
｛AN=DA
｛∠BAN=∠EAD
｛BA=EA
∴△EAD≌△BAN
∴ED=BN
又∵AM=½BN
∴ED=2AM
另外,其实ED和AM还有相互垂直的位置关系,顺便证明下吧.
证明：
延长AM（向下）至点Q,使MQ=AM=½ED,则AQ=ED,延长MA（向上）交ED于点P,连接BQ,CQ
∵BM=CM MQ=AM
∴四边形BQAC为平行四边形（对角线互相平分）
∴BQ=CA=DA
则,在△QBA与△DAE中
｛AQ=ED
｛BQ=DA
｛AB=AE
∴△QBA≌△DAE
∴∠QAB=∠DEA
∵∠BAE=90°
∴∠QAB+∠EAP=180°-90°=90°
又∵∠QAB=∠DEA
∴∠DEA+∠EAP=90°
∴∠APE=180°-90°=90°
∴PQ(AM)⊥ED