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化三重积分i=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/05/24 05:14:39
化三重积分i=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成
这是基础题,方便我理解好举一反三,
化三重积分i=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其曲面由z=x^2+2y^2及z=2-x^2所围成
先判断两个曲面的大小关系:
z = x² + 2y²为顶点在原点,开口向上的椭圆旋转抛物面
z = 2 - x²为顶点在直线y = 0上,开口向下的抛物面
所以有
==> x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²
再解出在xy面的投影方程:
{ z = x² + 2y²
{ z = 2 - x²
x² + 2y² = 2 - x²
2x² + 2y² = 2
==> x² + y² ≤ 1
∴ ∫∫∫Ω ƒ(x,y,z) dxdydz
= ∫{- 1,1} dx ∫{- √(1 - x²),√(1 - x²)} dy ∫{x² + 2y²,2 - x²} ƒ(x,y,z) dz
再问: 讲的很好很详细,但是有一点我不太明白就是开始Z=x^2+2y^2和z=2-x^2之间的判断,不仅仅是这道题三重积分加入了Z坐标后,我对图像的轮廓就差了太多了,我不太擅长画图,所以空间想象能力也不太好,第一步的判断最让我头疼
再答: 初接触三维的图像的确很痛苦,唯有慢慢适应 这两个曲面的大小关系也很容易判断,幸好题目够简单 z = x² + 2y²、无论x和y怎么取值,都有 z ≥ 0 z = 2 - x²、无论x的值是如何,都有z ≤ 0
再问: 你解答的时候写的是x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²,而且为什么2-x^2是小于等于0,从何判断?
再答: 额,貌似说错了,应该是
z = x² + 2y² ≥ 0,这个曲面的最低点是z = 0z = 2 - x² ≤ 2,最高点是z = 2取两个曲面的并集就是x² + 2y² ≤ z ≤ 2 - x²还是画图最清楚的。