设E是n阶单位阵,u为任意n维非零向量(分量不全为零),试证H=E-2

由A²=A有,A(E-A)=0得到R(E-A)

设λ对应的A的特征向量为x,则Ax=λx,那么(2A+E)x=2Ax+x=2λx+x=(2λ+1)x,由特征值定义可知2λ+1是2A+E关于特征向量x的特征值

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

由于u为单位向量,所以u^t*u=1H(T)H=(E-2uu^t)T*(E-2uu^t)=(E-2uu^t)*(E-2uu^t)=E-4uu^t+4uu^t*uu^t=E-4uu^t+4uu^t=E不

因为：A2=A，所以：A（A-E）=0，则：r（A）+r（A-E）≤n，又因为：r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）≥r（A+E-A）=r（E）=n，所以：r（A）+r（A-E）=n，则：r

因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R（A+E-A)=R(E)=n所以

AA^T=E,|A|×|A^T|=|A|^2=1,|A|=1或－1.|A|＜0,所以|A|=-1.A+E=A+AA^T=A(E+A^T)|A+E|=|A|×|E+A^T|=|A|×|A+E|=-|A+

证明：设A,B为同阶方阵,a1,a2...ar是A的极大线性无关向量组,则：R(A)=r,同理,设b1,b2,..bs为B的极大线性无关向量组,则：R(B)=s而A+B与A和B为同阶方阵,其极大线性无

R(A)=n-1,首先可以确定,A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个那么就很简单了,找一个向量,代入AX=0可以使之成立就行了.利用题目的暗示,这个向量可能是a我们试一试代入AX=0(E

分三步:1.因为a为n维单位列向量,所以有a'a=1(记a'=aT)2.A'A=(E-2aa')(E-2aa')=E-4aa'+4aa'aa'=E-4aa'+4aa'=E3.||AB||=√(AB)'

证明:因为A=E-2αα^T/(α^Tα)所以A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)

按分块矩阵的乘法A^-1[A,E]=[A^-1A,A^-1E]=[E,A^-1].(*)教材中有这样的结论:n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.当A可逆时,其逆矩阵A^-1

||Px||=1,具体展开根据范数的定义再问：我只学过这个三个性质，但似乎都无法用来解这个题：⒈║x║≥0，且║x║=0x=0；⒉║cx║=│c│║x║；⒊║x+y║≤║x║+║y║。而且我这个教材上

A^2＋2A＝0A^2＋2AE-3E^2=-3E(A-E)(A+3E)=-3E(E-A)[1/3(A+3E)]=EE-A可逆.

由ABC=E，可知：A-1=BC，C-1=AB，∴A-1A=BCA=E，CC-1=CAB=E，故选：D．

考虑分块矩阵B=[A,-U;V',Em],P=[En,U;0,Em],Q=[En,A^(-1)U;0,Em].可知P,Q可逆,故r(PB)=r(B)=r(BQ).而PB=[A+UV',0;V',Em]

正定矩阵A的特征值都大于0所以A+I的特征值都大于1而方阵的行列式等于其全部特征值之积所以|A+I|>1.

（1）对于选项A．若λE-A=λE-B，则：A=B，但题目仅仅是A与B相似，并不能推出A=B，故A错误；（2）对于选项B．相似的矩阵具有相同的特征值，这个是相似矩阵的性质，这是由它们的特征多项式相同决

利用定义就可以了,对任意的非零向量xx^T(E+A^TA)x=x^Tx+(Ax)^T(Ax)>0