设AB都是n阶方阵且AB＝0 若A＝A²证明-搜答案-搜搜考试网

AB=0|AB|=0|A|*|B|=0|A|=0或|B|=0

证:因为正交矩阵的行列式是正负1再由|AB|

若AB=0,则说明B的列向量都是AX=0的解因为r(B)=n,所以AX=0至少有n个线性无关的解设解集为S,则r(S)=n-r(A)>=n即r(A)=0所以r(A)=0即A=0

因为|A|≠0所以A可逆所以A^-1(AB)A=BA所以AB与BA相似.再问：还有设3阶矩阵A的特值为λ1=1λ2=0λ3=-1p1^T=(122)p2^T=(2-21)p3^T=(-2-12)球A还

A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似

C=AB,r(C)=r(AB)

B的每个列向量都是齐次方程AX=0的解.当B为零矩阵时,AX=0只有零解,所以r(A)=n,B为零矩阵所以r(B)=0此时r(A)+r(B)=n当B为非零矩阵时,AX=0有非零解,所以r(A)

AB=0则r(A)+r(B)=1故r(A)

AB=0,则r(A)+r(B)再问：你好我想知道为什么有“A,B都是非零矩阵,所以r(A),r(B)都小于n"再答：如果r(A),r(B)有一个是N,那么另外一个不就是0了,与A,B都是非零矩阵矛盾嘛

因为AB＝0所以B的列向量都是AX=0的解.所以B的列向量组可以由AX=0的基础解系线性表示所以r(B)

(AB)>=r(A)+r(B)-n是Sylvester不等式请参考图片证明也可以这样证明:因为AB=0所以B的列向量都是Ax=0的解.所以B的列向量组可由Ax=0的基础解系线性表示所以r(A)即r(A

因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.

证明：由于矩阵A可逆，因此A-1存在，故A-1（AB）A=（A-1A）BA=BA，故AB与BA相似

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选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为

由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.

由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确

AB=0,则B的列向量都是Ax=0的解因为B≠0,所以Ax=0有非零解,所以|A|=0.同理.AB=AC即A(B-C)=0若能推出B=C则Ax=0只有零解,所以|A|≠0|A|≠0r(A)=nAx=0

又是没悬赏的哈AB=0说明B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解而B≠0说明Ax=0有非零解所以|A|=0,即A不可逆

BA＝A＋BB＝BA－AB＝（B－I）A（I＝identitymatrix）(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB

设AB都是n阶方阵 且AB＝0 若A＝A²证明