搜搜考试网设a b为n阶方阵,满足A B=AB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/24 10:10:40
见http://zhidao.baidu.com/question/449580128.html
存在元素为整数的n阶方阵B,使得AB=E,即方阵A存在逆矩阵.一个方阵,存在逆矩阵的充分必要条件是行列式不为0
AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA
证明：AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵|ABO||OEn|A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有|ABA||0En|右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有|0A||-BEn|所以,r(AB)+n=
A+B＝AB,所以(A-I)(B-I)=I,说明A-I与B-I互为逆矩阵,设它们为X,Y,即A＝I+X,B＝I+Y,X与Y互逆,所以,AB＝(I+X)(I+Y)=I+X+Y+XY=2I+X+Y,BA=
因为[A^(-1)]*AB*A=BA,所以AB与BA相似.注:A^(-1)指的是A的逆矩阵.
证∵(A-E)(B-E)=E又：det(A-E)*det(B-E)=detE=1∴det(A-E)≠0∴A-E是可逆阵
1、A+B+AB=0,A+B+AB+E=E,(E+A)(E+B)=E,所以E+A与E+B可逆且互为逆矩阵.所以(E+B)(E+A)=E,E+A+B+BA=E,A+B+BA=0.将A+B+AB=0与A+
A^2B+AB^2=E即AAB+ABB=E所以A(A+B)B=E所以A可逆,B可逆所以A(A+B)=B^-1A+B=A^-1B^-1所以A+B可逆且（A+B)^-1=BA
选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为
由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.
AB=0左右取行列式得|A||B|=0所以|A|=0或|B|=0
由题得︱A︱︱B︱=︱E︱=1,∵︱A︱=-5,∴︱B︱=-1/5
由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确
AB=0,则B的列向量都是Ax=0的解因为B≠0,所以Ax=0有非零解,所以|A|=0.同理.AB=AC即A(B-C)=0若能推出B=C则Ax=0只有零解,所以|A|≠0|A|≠0r(A)=nAx=0
我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.（1）n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.（2）证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.（3）证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们
BA＝A＋BB＝BA－AB＝（B－I）A（I＝identitymatrix）(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB
由矩阵迹的性质知tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0,而tr(E)=n,两者不可能相等