n阶非零矩阵 秩都小于n

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零.当m不等于n时,mxn矩阵没有行列式.

反证法：若A的秩等于n,则A可逆,于是由AB=0左乘A^(--1)得B=0,矛盾.若B的秩等于n,则B可逆,由AB=0右乘B^(--1)得A=0,矛盾.再问：这只能说明A，B的秩不能都为n啊。。。再答

证明：如果AB=0,那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解设r（A）=r,那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解所以r（B）

定理：如果AB=0,则秩(A)+秩(B)≤n.证明：将矩阵B的列向量记为Bi.∵AB=0,所∴ABi=0,∴Bi为Ax=0的解.∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解,∴秩(B)≤n-秩(

1、任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵.2、上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0.3、n阶上三角阵的秩=n－主对角线上0的个数.4、初等行变换=左乘（可逆）初等矩阵.于是初等行变

假设A*不等于0,则根据A*定义,A的某个n-1子式行列式不等于0,也就是那个n-1阶子式的行向量线性无关,所以A必然有n-1行线性无关,和A的秩小于n-1矛盾,所以A*肯定是0矩阵,其特征值必然是0

显然等于n是不可能的了.然后证明比如前n-1列是线性无关的.第n列就写作A_n假设存在一组不全为0的系数b_1b_2...b_{n-1}使得b_1A_1+b_2A_2+...+b_{n-1}A_{n-

提示：两个方程组的公共解就是把这两个方程组合为一个方程组的解,由于给定两个含有n个变元的齐次线形方程组,它们系数矩阵的秩都小于n/2,当这两个方程组合为一个方程组时,得到的n元齐次线形方程组系数矩阵的

C都小于n‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘’‘再问：为什么？再问：为什么？再答：这个说起来麻烦了啊简单的说

(A)>=1是因为它是非零矩阵,只要是非零矩阵,秩当然至少是1至于r(B)

1.AB=0,则r(A)+r(B)=1,r(B)>=1所以A,B的秩都小于n2.AB=0两边取行列式即得|A||B|=0再问：我想问的是两道题的区别？麻烦老师再解答一下再答：由(1)知必有|A|=0且

即一个n行n列的矩阵,其存在一个元素不为0.

C可逆,则C存在唯一的逆CC-1=E,也就是解唯一,根据线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵满秩,也就是C满秩,为n.而C非0秩肯定小于等于n.顺便说一下满秩的另一个充要条件是矩阵的行列式不等于0

A^2-A=0A(A-E)=0所以r(A)+r(A-E)=1所以r(A)故(C)正确.

可以等于.你考察秩就可以得到m小于等于n的结论.

AB=0,求证r(A)+r(B)≤n,Sylvester公式r﹙A﹚+r﹙B﹚-n≤r﹙AB﹚右边为零,即得.[Sylvester公式的证明,教材上都有.用分块矩阵的初等变换,打起来麻烦,自己看吧!]

矩阵A的秩不可能大于它两维尺度(m,n)中最小的那个所以r(A)再问：再问：这个例子的话。。。。再问：答案是小于m再答：本来就该小于m啊？难道我说的不是这个？再问：你说的是n………再答：n

|A|E的秩是n|A|E的秩肯定不超过A的秩!当|A|≠0时,|A|E的秩是n,此时A可逆,所以R(|A|E)＝R(A).当|A|＝0时,|A|E＝0,秩是0,R(|A|E)≤R(A).

AB=0则B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解所以r(B)

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T