a是n维列向量,A=I-a

这是矩阵的乘法定义,直接按照定义把这个相乘写一遍就证明了.

充分性：如果A=βα,那么r(A)再问：不懂，怎么和秩联系了呢再答：采纳我，我加你qq再问：不理解再答：我加你qq，现在把我选为满意答案，谢谢

设k0α+k1Aα+…+k(n-1)A^(n-1)α=0同时左乘A^(n-1)由于A^nα=0所以A^(i)α=0(i>=n)于是得到k0A^(n-1)α=0又A^n-1α≠0则k0=0于是得到k1A

题目不完整再问：Aαn=0.求证A不能相似对角化。再答：没有别的条件?如α1，α2……αn线性无关之类的再问：那如果加个线性无关怎么做？？再答：由已知,A^(n-k)αk=αn≠0,A^(n-k+1)

由已知,A^(n-k)αk=αn≠0,A^(n-k+1)αk=Aαn=0下证α1,α2,...,αn线性无关设k1α1+k2α2+...+knαn=0用A^(n-1)左乘上式的两边,得k1αn=0由于

因为aa^T的特征值为||a||^2,0,0,...,0所以A的特征值为1-||a||^2,1,1,...,1都大于0所以A是正定的

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

由已知aa^T的特征值为1,0,0,...,0所以A=E-aa^T的特征值为0,1,1,...,1由于A是实对称矩阵,所以r(A)等于A的非零特征值的个数,即r(A)=n-1.

设x1a＋x2Aa＋x3A^2a＋.＋xkA^(k-1)a＝0.上式左乘以A^(k-1),得x1A^(k-1)a＝0,所以x1＝0.左乘以A^(k-2),得x2＝0.继续做下去,所有的系数都是0.所以

因为A是m*n矩阵,B是m维列向量,所以1再问：是r(AB)

H^TH=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa

R(A)=n-1,首先可以确定,A的基础解系所含的解向量个数是n-（n-1）=1个那么就很简单了,找一个向量,代入AX=0可以使之成立就行了.利用题目的暗示,这个向量可能是a我们试一试代入AX=0(E

用判别法则rank(A^TA,A^Tb)>=rank(A^TA)同时rank(A^TA,A^Tb)=rankA^T(A,b)

设k1a+k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0①①左乘A^﹙m-1﹚k1A^﹙m-1﹚a＝0A^﹙m-1﹚a≠0∴k1＝0①成为k2,Aa+,.+km,A^(m-1)a＝0②②左乘A^﹙m-2

||Aβ||²＝Aββ'A'＝﹙E-2αα'﹚ββ'﹙E-2αα'﹚＝ββ'-2ββ'αα'-2αα'ββ'+4αα'ββ'αα'注意α‘αβ’βα‘β＝β’α都是“数”﹙1行1列﹚可以和矩

因为A是n阶正交矩阵,所以A'A=E||Aα||=√(Aα,Aα)=√(Aα)'(Aα)=√α'A'Aα=√α'Eα=√α'α=||α||

向量的维数就是向量中含有分量的个数.向量空间的维数是向量空间任何一个基中含的向量的个数.

a^Ta=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa

Ax=b总有解则Ax=εi有解所以εi可由A的列向量组线性表示所以单位向量可由A的列向量组线性表示所以单位向量与A的列向量组等价反之,因为任一向量b可由单位向量组线性表示所以b可由A的列向量组线性表示

是等于0的.如果是填空选择,你可以举个例子,比如a=（1,1）.详细的证明就不写的,你会发现A的每一行（列）都是成比例的,所以其对应的行列式为0